Question

关于数列的一道题目 请给出推倒过程Sn=1*2+2*3+3*4+4*5+......+(n-1)n,则Sn=( )

Sn=1*2+2*3+3*4+4*5+......+(n-1)n,则Sn=( )

要过程 谢谢了~~~~
给出规律就行

Answer 1

Sn=1*2+2*3+3*4+4*5+......+(n-1)n
=1*(1+1)+2*(2+1)+3*(3+1)+......(n-1)*[(n-1)+1]
=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)+......+(n-1)^2+(n-1)
=[1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2]+[1+2+3+...+(n-1)]
=(n-1)[(n-1)+1][2(n-1)+1]/6+(n-1)[1+(n-1)]/2
=(n-1)n(2n-1)/6+(n-1)n/2
=n(n-1)[(2n-1)+3]/6
=n(n-1)[(2n+2]/6
=n(n-1)(n+1)/3

第四行到第五行,将数列折成两个数列求和
后一个为前n-1个自然数之和,你应会求(利用等差)
前一个为前n-1个自然数平方之和
公式:1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
证明:由两数差立方公式可得:
(n+1)^3-n^3=3n^2 +3n +1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
(n-1)^3-(n-3)^3=3(n-1)^2+3(n-2)+1
……………………………………
3^3 -2^3=3*2^2 +3*2 +1
2^3 -1^3=3*1^3 +3*1 +1^3
以上等式的两边分别相加得到
(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)
+3(1+2+3+……+n)
+(1+1+1+……+1)
所以3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)=(n+1)^3-1-3n(n+1)/2-n
=(n+1)(n^2+2n-3n/2-n)
=(n+1)n(n+1/2)
=n(n+1)(2n+1)/2.
因此1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.