Question

如图，边长为2根号3的等边三角形ABC内接于圆O,点D在弧AC上运动,但不与A C重合，连接AD并延长BC的延长线于P

1 求证圆O的半径
2 设AD为X，AP为Y，求出Y与X的函数关系及自变量X的取值范围。

Answer 1

解：设⊙O半径为r，作BC中点F，连结AF，延长交⊙O于点G，连结GD
由于△ABC是等边三角形，则易知线段AF过圆心O
也就是说AG是⊙O的直径
则∠ADG=90°
因为等边△ABC中，AB=2√3，则可得AD=[(√3)/2]*2√3=3
所以半径r=(2/3)*AD=2
则AG=2r=4
因为AF⊥BC，则∠AEF=∠ADG=90°
又∠FAD是Rt△ADG与Rt△AEF的公共角
所以Rt△ADG∽Rt△AEF （AA）
则AD/AE=AG/AF
因为AD=x，AF=y，AG=4，AE=3
所以x/3=4/y
即y=12/x，（0<x<2√3）
这就是y关于x的函数解析式

Answer 2

等边△ABC内接于圆O，则OA=OB=OC
∴△OAB为等腰三角形
又∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
∴△OAB≌△OAC≌△OBC
∴∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=30°
又∵AB=2√3
∴OA=OB=OC=2
即圆O的半径为2

过A做圆O的直径AF，交BC于点E，连接FD
∵AF为AO的延长线，且∠BAF=∠CAF
∴AF为∠BAC的角平分线
∴由等边三角形性质知AF⊥BC
∵D为圆O上的点，AF为直径
∴∠ADF=90°
∵∠ADF=∠AEP，∠DAF=∠EAP
∴△ADF∽△AEP
∴AD/AE=AF/AP
∵AF=2OA=4，AE=3（按一的方法自证）
∴X/3=4/Y
XY=12
∵D在弧AC上运动,但不与A、C重合
∴0<X<AC
即X∈(0,2√3)