Question

等边三角形ABC内接于圆O,D为弧AC上一点，CD的延长线与BA的延长线交于E若AB=根号15，DE=2，求CD的长

Answer 1

方法一：
过C作CF⊥BE交BE于F。令AE＝x、CD＝y。
∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝√15，又CF⊥AB，∴CF＝（√3/2）BC＝（3/2）√5。
显然有：AF＝（1/2）AB＝（1/2）√15。
由勾股定理，有：EF^2＋CF^2＝CE^2，∴（AF＋AE）^2＋CF^2＝（DE＋CD）^2，
∴［（1/2）√15＋x］^2＋［（3/2）√5］^2＝（2＋y）^2，
∴15/4＋√15x＋x^2＋45/4＝（2＋y）^2，∴x（x＋√15）＝（2＋y）^2－15。······①
由割线定理，有：AE×BE＝DE×CE，∴x（AE＋AB）＝2（DE＋CD），
∴x（x＋√15）＝2（2＋y）。······②
由①、②，得：（2＋y）^2－15＝2（2＋y），∴（2＋y）^2－2（2＋y）＋1＝16，
∴［（2＋y）－1］^2＝16，∴（y＋1）^2＝16，∴y＋1＝4，∴y＝3，∴CD＝3。

方法二：
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°、AC＝AB＝√15。
∵∠BAC＝60°，∴∠CAE＝120°，∴cos∠CAE＝－1/2。
由余弦定理，有：AE^2＋AC^2－2AE×AC∠CAE＝CE^2，
∴AE^2＋15－2√15AE×（－1/2）＝（DE＋CD）^2，∴AE（AE＋√15）＝（2＋CD）^2－15。
由割线定理，有：AE×BE＝DE×CE，∴AE（AE＋AB）＝2（DE＋CD），
∴AE（AE＋√15）＝2（2＋CD），而AE（AE＋√15）＝（2＋CD）^2－15，
∴（2＋CD）^2－15＝2（2＋CD），∴（2＋CD）^2－2（2＋CD）＋1＝16，
∴［（2＋CD）－1］^2＝16，∴（1＋CD）^2＝16，∴1＋CD＝4，∴CD＝3。

Answer 2

木有垂直么？