Question

双钩函数最值问题

怎么算出双钩函数的最值呢？

Answer 1

1.概念：双勾（也称对勾）函数的一般形式为f(x)=x + a²/x  (a>0).

2.奇偶性与单调性：容易得出，对勾函数是奇函数。

对勾函数的单调性可由求导的方法或直接利用定义判断得到，它有四个单调区间。

在(-∞，-a]和[a，+∞)上是增函数；在[-a，0)和(0，a]上是减函数。

3.图像：①由于是奇函数，所以图像关于原点对称，再根据单调性，可以得到函数的图像。

　　　　②对勾函数的图像有两个顶点，它们关于原点对称，分别是A(a，2a)和B(-a，-2a)。

　　　　③对勾函数的图像有两条渐近线，分别是y轴和直线y=x，对勾函数的图像夹在渐近线之间，形状像两个对称的“勾”。

4.用对勾函数求最值应用举例　

已知 a，b∈R+，且a+b=1，求ab+1/(ab)的最小值。

由基本不等式，得ab≤[(a+b)/2]²=1/4

令x=ab，则x∈(0，1/4],

f(x)=ab+1/(ab)=x+1/x，

由对勾函数的单调性易知，f(x)在（0，1/4]上是减函数(实际上在（0，1）上都是减的），所以最小值为f(1/4)=17/4

从而 ab+1/(ab)的最小值为17/4.