Question

已知p是椭圆x^2/4+y^2/3=1上的一点,f1,f2是椭圆的两个焦点,若三角形内切圆半径为1/2，求向量PF1.向量PF2

Answer 1

已知P是椭圆x²/4+y²/3=1上的点,F1,F2是该椭圆的两个焦点,△PF1F2的内切圆半径为1/2,则向量PF1•PF2=?

椭圆：x²/4+y²/3=1--->a=2,c=1
--->|F1F2|=2c=2，|PF1|+|PF2|=2a=4--->△PF1F2的周长2p=2+4=6
--->SΔPF1F2=rp=3/2=(1/2)|F1F2||yP|--->|yP|=3/2--->|xP|=1
不妨取P为(1,3/2)--->PF1•PF2=(1+1,3/2)•(1-1,3/2)=9/4

Answer 2

楼主你好！
首先我们把这个三角形单拿出来，设内心为点A，然后三角形面积可以表示为三个三角形AF1F2、AF1P、AF2P面积的和，由于着三个三角形的高相同，都是内切圆半径，所以三角形PF1F2面积即为周长乘以内切圆半径除以2。
又因为PF1+PF2是恒定的，是长轴长，也就是10，因此周长恒定，是16
所以S△PF1F2=16×1÷2=8
P到x轴的距离为d,根据三角形面积公式，底边F1F2=6，那么 6d÷2=8
d=8/3

Answer 3

另解：设焦点三角形顶角α，先求α的一半的正切值为0.5再求cosα=0.6.PF1•PF2=2b2／﹙1+cosα﹚cosα=9／4