Question

若各项均为正数的数列﹛an﹜,其前n项和为sn, an＋1／an＝2sn,则an＝?,sn＝?

Answer 1

n=1时， a1+1/a1=2S1=2a1, a1=±1 an>0, a1=1
n=2时， a2+1/a2=2(a1+a2)=2(1+a2) a2=√2-1
n=3时， a3+1/a3=2(a1+a2+a3)=2(√2+a3) a3=√3-√2
……
猜测an=√n-√(n-1)
数学归纳法证明：
有前面，只证明后面的第二步，
设n≤k时成立
即ak=√k-√(k-1)
则当n=k+1时
a(k+1)+1/a(k+1)=2[a1+a2+a3+……+a(k+1)]=2[√k+a(k+1)]
a(k+1)^2+1=2√k*a(k+1)+2a(k+1)^2
2a(k+1)^2+2√k*a(k+1)=1
a(k+1)^2+2√k*a(k+1)+k=k+1
[a(k+1)+√k]^2=k+1
a(k+1)+√k=√(k+1) (>0)
a(k+1)=√(k+1)-√k
故an=√n-√(n-1)
Sn=√n 。

Answer 2

n=1时， a1+1/a1=2S1=2a1, s1= a1=1
an＋1／an＝2sn
an^2+1=2sn*an an=sn-sn-1
(sn-sn-1)^2=2sn(sn-sn-1)
sn^2-[s(n-1)]^2=1
{sn^2}等差公差为1首项为1
sn^2=1+(n-1)*1=n
sn=√n
an=sn-sn-1=√n-√[n-1]