Question

如图,已知RT△ABC,∠ABC=90°,以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD （1）若AD=3，BD=4，求边BC长

（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切

Answer 1

（1）因为AB是直径，角ADB=90度 AB^2=AD^2+BD^2=3*2+4^2=25 =>AB=5
三角形ABD相似于三角形BCD=>AB/BC=AD/BD 5/BC=3/4 BC=20/3
(2)连OD
OD是Rt三角形ABD的中线，OB=OD，角OBD=角ODB;且DE是Rt三角形BDC的中线
角EBD=角EDB
又因为角OBD+角DBE=90度，角ODB+角BDE=90度 ，OD是半径ED与⊙O相切

Answer 2

△ABC,∠ABC=90°,以直角边AB为直径作圆O，交斜边AC于点D，连结BD
（1）AD=3，BD=4
因为：AB是圆O的直径
所以：∠ADB =90°
所以：AB=5
所以：tan∠A= BD / AD = BC / AB = 4/3
所以：BC = 20/3
（2）E是BC的中点
所以：OE//AC
所以：BD垂直于BD
可证得：三角形OBE 全等于 三角形ODE
证得：OD垂直于ED
因为：OD是圆O的半径
　　所以：ED与圆O相切

Answer 3

（1）解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC．
∵AD=3，BD=4，
∴AB=5．
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△ABD∽△ACB，
∴BD/AD=BC/AB，
即4/3=BC/5，
∴BC=20/3；

（2）证明：连接OD，∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
又E是BC的中点，BD⊥AC，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD．
∴ED与⊙O相切．

Answer 4

1运用相似，和等角的余角相等，即可

2运用相似，即可求出∠ADB=∠EOD=90°  故ED与⊙O相切

Answer 5

（1）证明：连接OD．
∵OD=OB（⊙O的半径），
∴∠OBD=∠BDO（等边对等角）；
∵AB是直径（已知），
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ADB=∠BDC=90°；
在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴BE=CE=DE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠DBE=∠BDE（等边对等角）；
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，
∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90°（等量代换）；
∵点D在⊙O上，
∴ED与⊙O相切；
（2）在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=4，
∴AB=5（勾股定理）；
在Rt△BDC和Rt△ADB中，∠ADB=∠BDC=90°，∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠BCD，
∴△BDC∽△ADB，
∴
BC
AB
=
BD
AD
．即
BC
5
=
4
3
，
∴BC=
20
3 ．