Question

已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R)是偶函数

（1）求k的值：（2）若方程f(x)-m=0有解，求m的取值范围。
详解第二题。

Answer 1

（1）
f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数，
∴f(-x)=f(x),
即log<4>[4^(-x)+1]+k(-x)=log<4>(4^x+1)+kx,
∴log<4>{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,
-x=2kx,
k=-1/2.
（2）
f(x)=log4(4^x+1)-x/2-m=0
m=log4(4^x+1)-x/2
=log4(4^x+1)-log4[4^(x/2)]
=log4[(4^x+1)/4^(x/2)]

(4^x+1)/4^(x/2)
=4^x/4^(x/2)+1/4^(x/2)
=4^(x/2)+1/4^(x/2)
因为4^(x/2)〉0
所以
4^(x/2)+1/4^(x/2)>=2根号[4^(x/2)*1/4^(x/2)]=2
当4^(x/2)=1/4^(x/2)时取等号
[4^(x/2)]^2=1
4^x=1
x=0
可以取到
所以m>=log4(2)=1/2

Answer 2

1)f(-x)=f(x)
log4(1/4^x+1)-kx=log4(4^x+1)+kx
log4[(4^x+1)/(1/4^x+1)]+2kx=0
log4[4^x]+2kx=0
x+2kx=0
2k+1=0, 得k=-1/2
2）f(x)的定义域为R
有解，则有：m=f(x)=log4(4^x+1)-x/2
化为求f(x)的值域即可。
f'(x)=(4^x )/(4^x+1)-1/2=1/2-1/(4^x+1)=0得：x=0,
x<0时为单调减，x>0时为单调增
f(0)=0为极小值
极大值显然为正无穷大。
因此有：m>=0.

Answer 3

1.求导 0处导数值为0
2. 变量分离 求导