Question

如图,在△ABC中,∠A=2∠B,CD⊥AB,垂足为点D。E为AB的中点。若AC=8cm,求DE的长

如图,在△ABC中,∠A=2∠B,CD⊥AB,垂足为点D。E为AB的中点。若AC=8cm,求DE的长

Answer 1

解：设∠CAB角平分线与BC交于M，延长EM，交AC延长线于P，连接BP，延长AM，交BP与N，连接CN，交MP于Q。

因为AM平分角∠CAB，又因为∠A=2∠B，所以∠MAB=(1/2)∠C=∠MBA，所以AM=MB，又因为ME为AB边上中线，所以ME亦为AB边上垂线（三线合一定理），所以EM为AB边上中垂线（也叫垂直平分线）。

所以，由于P在AB中垂线上，PA=PB，所以∠PBA=∠PAB=2∠CBA，所以，BC平分角∠PBA

由角平分线定理，PC/CA=PB/AB，又由AM平分∠CAB，所以PN/NB=PA/AB

因为PA=PB，所以PC/CA=PN/NB，所以PC=PN，另一个结论为△PCN∽△PAB，所以∠PAB=∠PCN，CN∥AB，

又因为CD⊥AB，ME⊥AB，所以CD∥ME，所以四边形CDEQ为平行四边形，所以CQ=DE，

因为PC=PN且PE⊥CN，所以PQ平分CN，CN=2CQ=2DE

而∠CNA=∠NAB=∠CAN，所以，AC=CN=2DE

因为AC=8，所以DE=4

追问

谢，但有点不懂在“由角平分线定理，PC/CA=PB/AB，又由AM平分∠CAB，所以PN/NB=PA/AB”我是初二的没学过求解！

追答

哦。你初二啊，那我的方法八成麻烦了，可能会有更好的方法。
角平分线定理是这样子的：
在三角形ABC中，若AD平分∠BAC，且AD交BC于D，有AB/AC=DB/DC
证明：过B作BE∥AC，交AD的延长线于点E。
易证△ACD∽△EBD，那么BE/AC=BD/CD
而∠BEA=∠EAC=∠EAB，所以BE=AB
即有AB/AC=DB/DC