Question

如图，AB是圆O的直径，AC是弦，CD是圆O的切线，C为切点，AD垂直CD于点D。求1.∠AOC=2∠ACD

Answer 1

如果只是证明这个结论的话，这道题的条件给多了，AD垂直CD于点D用不上。证明如下：连接BC，由弦切角定理（弦切角与它所夹的弧所对的圆周角相等）可知：∠ACD=∠ABC，又因为∠AOC=2∠ABC（同弧所对的圆心角等于其所对的圆周角的2倍），所以∠AOC=2∠ACD.证毕。

Answer 2

证明：连接BC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠ACD=∠OCB，
∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，
∵∠AOC为△BOC的外角，
∴∠AOC=∠B+∠OCB=2∠OCB，
则∠AOC=2∠ACD．

Answer 3

2 因为三角形BCA相似三角形CDA
所以AC/AD=AB/AC
所以AC的平方=AB*AP

Answer 4

证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即 12∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）
由①，②，得：∠ACD- 12∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）

Answer 5

（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
∠ACD+∠ACO=90°．
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即 2∠AOC+∠ACO=90°
∴∠ACD-2∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD
（2）如图，连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
在Rt△ACD与△RtACD中，
∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ACD，
∴ ACAB=ADAC，即AC2=AB•AD

Answer 6

证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即 12∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）
由①，②，得：∠ACD- 12∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）
（2）如图，连接BC．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°．（6分）
在Rt△ACD与△RtACD中，
∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽Rt△ACD，（8分）
∴ ACAB=ADAC，即AC2=AB•AD．（9分）