Question

已知函数f(x)=x+1/x.判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并加以证明;求f(x)的定义域,值域

Answer 1

(一)f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增
证明：(1)任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(1-1/x1x2)
因为x1,x2∈(0,1),且x1<x2
所以x1-x2<0,0<x1x2<1,1-1/x1x2<0
所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)在(0,1)单调递减
(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2
同上，但x1x2>1,1-1/x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)<0
所以f(x)在(1,+∞)单调递增
(二)定义域：x≠0，即(-∞,0)∪(0,+∞)
值域：没有学基本不等式的话可以用判别式法
y=x+1/x
x^2-yx+1=0
所以Δ=y^2-4≥0
解得y≤-2或y≥2
值域(-∞,-2]∪[2,+∞)
打得这么辛苦，多给个分吧

Answer 2

不知道这是高中题目还是高数题目，如果是高数的话，可以通过导数的性质判断。