Question

已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表

探索研究
已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 -5 -8 -9 -8 …
（1）求该二次函数的关系式，并在给定的坐标系xOy中画出函数的图象；
（2）若A（m，y1），B（m+4，y2）两点都在该函数的图象上．
①试比较y1与y2的大小；
②若A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答以下问题：
（Ⅰ）直接写出实数m的变化范围是 ；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形，若存在，请求出m的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
我只要（2）（Ⅱ）的解答！！！

Answer 1

解：（1）根据题意， {1-b+c=0c=-5，
解得 {b=-4c=-5，
∴该二次函数解析式为y=x2-4x-5，图象如右；
（2）①y1-y2=m2-4m-5-（m+4）2+4（m+4）+5，
=-8m，
∴当m＞0时，-8m＜0，y1＜y2，
当m=0时，-8m=0，y1=y2，
当m＜0时，-8m＞0，y1＞y2；

②（Ⅰ）当y=0时，x2-4x-5=0，
解得x1=-1，x2=5，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0），（5，0），
∵A、B两点位于x轴的下方，
∴m＞-1，m+4＜5，
解得-1＜m＜1；

（Ⅱ）∵二次函数对称轴为x=- -42×1=2，
m+4-m2=2，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴AB∥x轴，
（i）若AB为平行四边形的边，则PQ∥AB，
∴点Q为二次函数图象与x轴的交点，此时PQ=2-（-1）=3，或PQ=5-2=3，
而AB=m+4-m=4，
AB≠PQ，
∴AB不能是平行四边形的边；
（ii）若AB为平行四边形的对角线，根据AB关于对称轴对称，得
点Q为二次函数顶点，
又x=2时，y=22-4×2-5=-9，
∴点Q坐标是（2，-9），
根据平行四边形对角线互相平分，点A、B的纵坐标是 -92=-4.5，
此时，m2-4m-5=-4.5，
解得m= 4-322，或m= 4+322（舍去）．
故存在实数m= 4-322，点Q的坐标是（2，-9），使得四边形APBQ为平行四边形．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，平行四边形的性质，解一元二次方程，综合性较强，难度较大．

Answer 2

解：（1）根据题意，1-b+c=0c=-5​，
解得b=-4c=-5​，
∴该二次函数解析式为y=x2-4x-5，图象如右；

（2）①y1-y2=m2-4m-5-（m+4）2+4（m+4）+5=-8m，
∴当m＞0时，-8m＜0，y1＜y2，
当m=0时，-8m=0，y1=y2，
当m＜0时，-8m＞0，y1＞y2；

②（Ⅰ）当y=0时，x2-4x-5=0，
解得x1=-1，x2=5，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0），（5，0），
∵A、B两点位于x轴的下方，
∴m＞-1，m+4＜5，
解得-1＜m＜1；

（Ⅱ）∵二次函数对称轴为x=--42×1=2，
AB=|m+4-m2|=2，
∴点A、B关于对称轴对称，
∴AB∥x轴，
（i）若AB为平行四边形的边，则PQ∥AB，
∴点Q为二次函数图象与x轴的交点，此时PQ=2-（-1）=3，或PQ=5-2=3，
而AB=m+4-m=4，
AB≠PQ，
∴AB不能是平行四边形的边；
（ii）若AB为平行四边形的对角线，根据AB关于对称轴对称，得
点Q为二次函数顶点，
又x=2时，y=22-4×2-5=-9，
∴点Q坐标是（2，-9），
根据平行四边形对角线互相平分，点A、B的纵坐标是-92=-4.5，
此时，m2-4m-5=-4.5，
解得m=4-3
22，或m=4+3
22（舍去）．
又∵此时AB∥x轴，
∴y1=y2，
∴-8m=0，
解得m=0，
∵m=4-3
22≠0，
∴不存在实数m，使得四边形APBQ为平行四边形．

Answer 3

找到纵坐标相等的两个点 他们横坐标的和的一半就是对称轴

Answer 4

不会饿