Question

线性代数二次型问题。。。

用配方法化下列二次型喂标准型，并写出相应的初等变换。
f=x1x2+x2x3+x3x4.

Answer 1

解: 令 x1=y1+y2, x2=y1-y2,x3=y3,x4=y4
f = y1^2-y2^2+y1y3-y2y3+y3y4
= (y1+y3/2)^2-(y2+y3/2)^2+y3^2y3y4
=z1^2-z2^2+z3z4
=w1^2-w2^2+w3^2-w4^2

X=AY
A=
1 1 0 0
1 -1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Z=BY
B=
1 0 1/2 0
0 1 1/2 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Z=CW
C=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 -1

W=C^-1Z=C^-1BY=C^-1BA^-1X
CBA^-1=
1/2 1/2 1/2 0
1/2 -1/2 1/2 0
0 0 1/2 1/2
0 0 1/2 -1/2

Answer 2

1、你说的对
2、那个符号是2范数，就是长度，同济书第五章讲内积开始就提到这个符号了
3、你那样证是利用了正定矩阵合同于单位阵这一命题，好像书上没这个定理，都是作为证明题来证，不过用一下应该没事