Question

焦点在x轴上的椭圆上任意一点与两焦点连线所夹角的范围

Answer 1

在左顶点和右顶点处，椭圆上的点P和焦点F1、F2连线的夹角F1PF2=0
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2PF1PF2*cosF1PF2
=(PF1+PF2)^2-2PF1PF2(1+cosF1PF2)
2PF1PF2(1+cosF1PF2)=(PF1+PF2)^2-F1F2^2=4a^2-4c^2=4b^2
F1PF2越大，cosF1PF2越小，
因此在PF1*PF2最大时，角F1PF2最大
PF1PF2=PF1*(2a-PF1)=-(PF1-a)^2+a^2
PF1PF2最大=a^2
1+cosF1PF2=4b^2/(2a^2)=2b^2/a^2
角F1PF2最大值为 arccos(2b^2/a^2 -1)
角F1PF2的范围是[0，arccos(2b^2/a^2-1) ]

Answer 2

设P为椭圆上任一点，B为短轴的一个端点。则有 0≤∠F1PF2≤∠F1BF2
令|PF1|=t，|PF2|=s，则 t+s=2a，ts≤[(t+s)/2]²=a²
cos∠F1PF2=[t²+s²-4c²]/(2ts)
=[(t+s)²-2ts-4c²]/(2ts)
=[4a²-2ts-4c²]/(2ts)
=(4b²-2ts)/(2ts)
=2b²/(ts) - 1
≥2b²/a² - 1
从而 当t=s=a (即P为短轴的端点）时，cos∠F1PF2有最小值，∠F1PF2有最大值为∠F1BF2。

Answer 3