Question

【数学题】已知，如图所示Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点

已知，如图所示 Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A.问：（1）判断直线BD与圆O的位置关系，并证明你的结论（2）若AD:AO=8:5,BC=2,求BD的长

Answer 1

(1) 连接DE，因为OA=OD=OE，三角形内角和关系，∠ADE=90°，则DE平行BC，∠EDB=∠CBD=∠A，所以∠ODB=90°，所以是相切关系。
(2) 设AD长为8a，则AO=5a，AE=10a。三角形AED相似与三角形BDC，BC:BD=AD:AE=4:5
所以BD=2.5

Answer 2

（1）连接OD．证直线与圆相切，即证BD⊥OD．由∠CBD+∠CDB=90°，∠CBD=∠A=∠ODA，可得∠ODA+∠CDB=90°．根据平角定义得证；（2）即求圆的半径求解．连接DE，则∠ADE=90°．在Rt△BCA中，∠CDB=∠A=∠ABD，得∠A=30°．从而在△ADE中利用三角函数求解．
解答：解：（1）直线BD与⊙O相切． （1分）
证明：如图1，连接OD． （2分）
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO． （3分）
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A，（5分）
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°．
∴直线BD与⊙O相切． （6分）
（2）连OD、DE．
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA． （7分）
在Rt△BDC中，
∵∠C=90°，∠CBD=∠A=∠DBA，
∴3∠A=90°，即有∠A=30°． （8分）
由tan∠A=DEAD，得DE=AD•tan30°=2×33=233．（10分）
又∠DOE=60°，OD=OE，
∴△DOE为等边三角形，
∴OD=DE=233． （10分）
即⊙O的半径r=OD=233，
故⊙O的面积S=πr2=4π3． （12分）