Question

若a<b<c<d,求证：对于任意的t≠-1，关于x的方程(x-a)(x-c)-t(x-b)(x-d)=0都有两个不等的实数根

提示：求两次Δ

Answer 1

目测题目有点小错误。
我先改下题，有两种改法
1,t≠-1改为t≠1;
2,方程改为(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0。
这两种改法没啥本质区别，我取第二种改法解题。

解答如下：
整理方程得：(1+t)x^2-[a+c+t(b+d)]x+ac+tbd=0
因为t≠-1,所以该方程是个1元2次方程
Δ=(a+c)^2+2t(a+c)(b+d)+t^2(b+d)^2-4(1+t)(ac+tbd)
=(a+c)^2+2t(a+c)(b+d)+t^2(b+d)^2-4ac-4tac-4tbd-4t^2bd
=(a-c)^2+t^2(b-d)^2+2t(a+c)(b+d)-4t(ac+bd)
当然按LZ提示的再求一次Δ也未尝不可，但计算量目测有点大，本人对此一向深恶痛疾，所以我的想法是，
分三步走：
1,t=0,Δ=(a-c)^2>0 (a≠c)
2,t>0,Δ≥2t(a-c)(b-d)+2t(a+c)(b+d)-4t(ac+bd) (均值不等式)
=4t(ab+cd-ac-bd)
=4t(a-d)(b-c)>0
3,t<0,Δ≥-2t(a-c)(b-d)+2t(a+c)(b+d)-4t(ac+bd) (均值不等式)
=4t(bc+ad-ac-bd)
=4t(b-a)(c-d)>0
综上所述Δ>0,所以关于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0必有两个不等的实数根！

Answer 2

由题意，应该是证明二元一次方程的解，根号Δ有意义且不等于0
对于“t≠-1，关于x的方程(x-a)(x-c)-t(x-b)(x-d)=0”题目可能有误
要么是“t≠1，关于x的方程(x-a)(x-c)-t(x-b)(x-d)=0”；
要么是“t≠-1，关于x的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0”
请核对一下先

Answer 3

将方程整理，有
(1-t)x^2+(tb+td-a-c)x+ac-tbd=0
delta=(tb+td-a-c)^2+4(1-t)(tbd-ac)=(tb+td)^2+(a+c)^2-2(tb+td)(a+c)-4bdt^2+4tbd-4ac+4act
=(tb-td)^2+(a-c)^2-2(tb-td)(a-c)+2(tb-td)(a-c)-2tba-2tbc-2tda-2tdc+4tbd+4act
=(tb-td-a+c)^2+4t(bd+ac-da-bc)=(tb-td-a+c)^2+4t(b-a)(d-c)
当t>0时显然delta>0，命题得证。
当t<0时，(tb-td-a+c)^2>|4t(b-d)(a-c)|=-4t(d-b)(c-a),
而-4t(d-b)(c-a)+4t(b-a)(d-c)=-4t((d-b)(c-a)-(b-a)(d-c))
因为d>c>b>a,所以d-b>d-c>0,c-a>b-a>0，所以-4t((d-b)(c-a)-(b-a)(d-c))>0，即delta>0，命题得证