Question

从1~2009中选出连续三个自然数，是的他们的乘积能被42整除，请问一共有多少种选法

从1~2009中选出连续三个自然数，是的他们的乘积能被42整除，请问一共有多少种选法

Answer 1

42 = 2 X 3 X 7，只需要连续3个自然数的乘积能够分别被这3个素数整除，则必定被42整除。
也就是说只要这3个连续自然数中有一个是2或3或7的倍数，则它们的乘积也就是2或3或7的倍数。
3个连续自然数中，有2或3的倍数是很显然的，只要再有7的倍数就行了。
2009/7=287，从1～2009有287个7的倍数，所以一共有287*3-2=859种选法，注意2009刚好是7的倍数，在3个连续自然数中只能是最后一个，即2007,2008,2009一种，其他7的倍数3个位置都可以。

Answer 2

连续三个数设为a.b.c则所求为（a+b+c）=42*n，而a+b+c=（b-1）+b+（b+1）=3b，即所求为14*n=b且b<2009，问题成为2009以内能被14整除的数的个数。2009/14=143...7就是说有143种