Question

已知x*x/a*a+y*y/b*b=1

求：（1）计算椭圆面积
（2）绕Y轴旋转一周而成的旋转体的体积
（3）绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积

Answer 1

解：（1）椭圆面积=4∫<0,a>b√(1-x²/a²)dx
=4ab∫<0,π/2>cos²tdt (令x=asint)
=2ab∫<0,π/2>[1+cos(2t)]dt
=2ab[t+sin(2t)/2]│<0,π/2>
=2ab(π/2)
=πab；
（2）绕Y轴旋转一周而成的旋转体的体积
=2∫<0,a>2πxb√(1-x²/a²)dx
=-2πa²b∫<0,a>√(1-x²/a²)d(1-x²/a²)
=-2πa²b[(2/3)(1-x²/a²)^(3/2)]│<0,a>
=-2πa²b(-2/3)
=4πa²b/3；
（3）绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积
=2∫<0,a>πb²(1-x²/a²)dx
=2πb²[x-x³/(3a²)]│<0,a>
=2πb²[a-a³/(3a²)]
=4πab²/3。