Question

两道不定积分题求解。急，在线等。1.∫dx/√(a²－x²)³ 2.∫x² dx/√

两道不定积分题求解。急，在线等。1.∫dx/√(a²－x²)³ 2.∫x² dx/√4－x²

Answer 1

两题均是三角代换
1、设x=asinu，则√(a²－x²)³=a³cos³u，dx=acosudu
原式=∫1/(a³cos³u)*acosudu=1/a²*∫1/cos²udu=1/a²∫sec²udu=1/a²tanu+C
由sinu=x/a，知tanu=x/√(a²－x²)，则原式=1/a²x/√(a²－x²)+C=x/(a²√(a²－x²))+C
2、设x=2sinu，则√(4－x²)=2cosu，dx=2cosudu
原式=∫x² dx/√4－x²=∫4sin²u/(2cosu)* 2cosudu=4∫sin²udu=2∫(1-cos2u)du
=2∫1du-∫cos2ud(2u)=2u-sin2u+C=2u-2sinucosu+C=2arcsinx-x*√(4－x²)/2+C

Answer 2

①∫dx/(a²-x²)^(3/2)=∫dx/[(a²-x²)√(a²-x²)]=∫dx/{(a²-x²)a√[1-(x/a)²]}
令x/a=sinu，则x=asinu，dx=acosudu，代入上式得：
=∫acosudu/[a²-a²sin²u)a√(1-sin²u)
=∫du/(a²cos²u)=(1/a²)tanu+C=(1/a²)[x/√(a²-x²)]+C
②
4-x²=2²-x²,令x=2sinu则dx=2cosudu,sinu=x/2
√(4-x²)=√(4-4sin²u)=2cosu,cosu=(1/2)√(4-x²)
∴∫(x-2)√(4-x²) dx
=∫(2sinu-2)2cosu*2cosu du
=8∫(sinu-1)cos²u du
=8∫sinucos²u du-8∫cos²u du
=-8∫cos²u d(cosu)-4∫(1+cos2u) du
=(-8/3)cos³u-4(u+1/2*sin2u)+C
=(-8/3)[1/2*√(4-x²)]³-4arcsin(x/2)-4*x/2*(1/2)√(4-x²)+C
=(-1/3)(4-x²)^(3/2)-4arcsin(x/2)-x√(4-x²)+C