Question

设A+B都是n阶对称矩阵，E+AB可逆，证明（E+AB）^-1A也是对称矩阵。 式子解释：（E+AB）的逆矩阵乘A 谢谢~

Answer 1

证明：
[(E+AB)^-1A]^T （解释：^T表示转置，楼主懂得，证明矩阵对称的思路：就是证明转置矩阵是否等于矩阵本身）
另外，题中：A+B都是n阶对称矩阵。不对吧，应该是A和B都是n阶对称矩阵
[(E+AB)^-1A]^T
=A^T[(E+AB)^-1]^T
=A[(E+AB)^T]^-1
=A(E+B^TA^T)^-1
=A(E+BA)^-1
=[(A^-1)^-1](E+BA)^-1
=[(E+BA)A^-1]^-1
=(A^-1+B)^-1
而
(E+AB)^-1A
=(E+AB)^-1(A^-1)^-1
=[A^-1(E+AB)]^-1
=(A^-1+B)^-1
∴(E+AB)^-1A=[(E+AB)^-1A]^T
∴(E+AB)^-1A也是对称矩阵
希望对你有帮助，望采纳，谢谢~

Answer 2

（E+AB）的逆矩阵乘A等于 A加上B的逆 （E+AB）的逆矩阵乘A的转秩等于A加上B的逆 所以 为对称矩阵