Question

已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(-x),且当x属于(0.,1]时,f(x)=3^x,求f(以3为底324的对数）的值

Answer 1

由 f(x+2)=f(-x) 知，函数图像关于直线 x=1 对称，
又因为函数为奇函数， f(x+2)=f(-x)=-f(x)，所以 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)，
所以，函数是周期为4的周期函数。
因为 log3(324)=log3(4*3^4)=4+log3(4)，
所以 f(log3(324))=f(log3(4))=-f(-log3(4))=-f(2-log3(4))=-f(log3(9/4))=-3^(log3(9/4))=-9/4 。

Answer 2

解：∵f(x)为奇函数
∴f(x)=-f(-x)
f(x+2)=f(-x)=-f(x)
f(x+2+2)=f(-(x+2))=-f(x+2)=f(x)
f(x+4)=f(x)
所以f(x)的最小正周期为4
f(log3(324))=f(4+log3(4))=f(log3(4))=-f(-log3(4))=-f(2-log3(4))=-f(log3(9/4))
∵x∈(0.,1]时,f(x)=3^x
∴-f(log3(9/4))=-3^(log3(9/4))=-9/4
∴f(log3(324))=-9/4