Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α。将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.

（1）求证：△COD是等边三角形
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由
（3）探究：当∠BOC为多少度时，△AOD是等腰三角形

Answer 1

（1）∵△BCO≌△ACD
∴OC=CD
又∵∠OCD=60°
所以△OCD是等边三角形
（2）∵△OCD是等边三角形
∴∠DOC=∠CDO=60°
∵∠AOB+∠α+∠COD+∠AOD=360°且∠AOB=110°，∠α=150°
∴∠COD=40°
又∵∠ADC=∠α=150°
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°
∴△ADO是直角三角形
（3）∠AOD=360°-∠AOB-∠α-∠COD=360°-110°-∠α-60°=190°-∠α
∠ADO=∠ADC-∠CDO=∠α-60°
∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（∠α-60°）-（190°-∠α）=50°
若∠ADO=∠AOD，即∠α-60°=190°-∠α，则∠α=125°
若∠ADO=∠OAD，则∠α=110°
若∠OAD=∠AOD，则∠α=140°
经验证，三个答案均可。

Answer 2

看看这个高手的解答

解：1）因为△ADC≌△BOC
所以OC=CD,∠BCO=∠ACD,
又∠BCO+∠ACO=60，
所以∠OCD=∠ACO+∠ACD=60
所以△COD是等边三角形

2）由△ADC≌△BOC
所以∠ADC=∠BOC=150，
所以∠ADO=∠ADC-∠ODC=150-60=90
因为∠AOB=110°，α=150度，
所以∠AOC=360-110-150=100
所以∠AOD=100-∠COD=100-60=40
所以△AOD是直角三角形

3）∠ADO=α-60，∠AOD=360-110-α-60=190-α
分三种情况，
若AO=OD
2(α-60)+(190-α)=180，
α=110

若AO=AD
α-60=190-α，
α=125

若AD=OD
(α-60)+2(190-α)=180，
α=140