Question

速求一道初三数学题解答过程

如图 在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标 要详细的过程哦 3q啦

Answer 1

（1）c在抛物线上，将c代入解析式，就可求出a的值；A是抛物线与x轴的坐标，根据抛物线求出A点坐标，由A、C两点坐标可求出直线AC的函数关系式．
（2）设出p点的横坐标m，p在直线上，然后用横坐标m表示出p点的坐标，M与P的横坐标相同，且M在抛物线上，同样可用m表示出M点坐标，然后求出线段PM，最后根据PM长度的关系式判断m为何值时，线段最长．解答：解：（1）点C（-2，6）在抛物线y=a（x+3）（x-1）上
得6=a（-2+3）（-2-1）
∴a=-2（3分）
∴抛物线的函数解析式为y=-2（x+3）（x-1）
由题意得抛物线与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）
设直线AC为y=kx+b，则有
0=k+b
6=-2k+b
解得k=-2，b=2
∴直线AC的函数解析式为y=-2x+2（6分）

（2）①设P的横坐标为m（-2≤m≤1），则
P（m，-2m+2），M（m，-2m2-4m+6）（7分）
∴PM=-2m2-4m+6-（-2m+2）=-2m2-2m+4=$-2（m+\frac{1}{2}{）^2}+\frac{9}{2}$
∴当$a=-\frac{1}{2}$时，PM的最大值为$\frac{9}{2}$（10分）
②存在
M1（0，6）、M2（$-\frac{1}{4}$，$\frac{55}{8}$）（14分）

追问

不好意思哦 请仔细看清楚我的问题 你的答案是网上复制来的吧？ 我要的答案网上找不到哦

追答

M1（0，6）M2（-1，4）

追问

我写的清楚哦 要过程哦 亲 莫想偷懒哦

追答

亲，你的题目给的这么简单，且图也没坐标，你叫我怎么给你详细过程呢？

追问

那个具体条件是这样的
如图，抛物线y=a（x+3）（x-1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）． 不好意思哦

追答

（1）c在抛物线上，将c代入解析式，就可求出a的值；A是抛物线与x轴的坐标，根据抛物线求出A点坐标，由A、C两点坐标可求出直线AC的函数关系式．
（2）设出p点的横坐标m，p在直线上，然后用横坐标m表示出p点的坐标，M与P的横坐标相同，且M在抛物线上，同样可用m表示出M点坐标，然后求出线段PM，最后根据PM长度的关系式判断m为何值时，线段最长．
解答：解：（1）点C（-2，6）在抛物线y=a（x+3）（x-1）上
得6=a（-2+3）（-2-1）
∴a=-2
∴抛物线的函数解析式为y=-2（x+3）（x-1）
由题意得抛物线与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）
设直线AC为y=kx+b，则有
0=k+b
6=-2k+b
解得k=-2，b=2
∴直线AC的函数解析式为y=-2x+2

（2）①设P的横坐标为m（-2≤m≤1），则
P（m，-2m+2），M（m，-2m2-4m+6）
∴PM=-2m2-4m+6-（-2m+2）=-2m2-2m+4=
∴当 时，PM的最大值为
②∵∠CPM=∠APN
若∠CMP=∠ANP=90°
则点M的纵坐标为6
6=-2(x+3)(x-1)
x²+2x=0
x(x+2)=0
x=0 或 x=-2（舍）
则点M的坐标为(0，6)
若∠PCP=∠ANP=90°
过点C作与AC垂直的直线：y=1/2(x+2)+6
联立y=1/2(x+2)+6与y=-2(x+3)(x-1)
1/2(x+2)+6=-2(x+3)(x-1)
4x²+9x+2=0
(x+2)(2x+1)=0
x=-2（舍）或 x=-1/4
当x=-1/4时，y=-2×(-1/4++)×(-1/4-1)=55/8
则点M的坐标为M(-1/4，55/8)
终上所述：点M的坐标为(0，6)或(-1/4，55/8)

追问

过点C作与AC垂直的直线：y=1/2(x+2)+6
请问这解析式是咋求出来的？

追答

亲，那就是过定点求与已知直线的垂线方程嘛！！！

追问

我知道你是在求那条直线的解析式 可是没有过程啊 直接写个解析式我咋明白呢？
我没见过那样的公式 俺是初三打

追答

哦，是这样的，两条相互垂直的直线的斜率互为负倒数，因为直线AC的斜率为-2，所以与之垂直的直线的斜率为1/2，设方程为y=x/2+b，带入c点坐标，就可以求出b=7。所以y=x/2+7=(x+2)/2+6。