Question

初三数学题一道

水平地面上有一面积为30π平方厘米的扇形OAB，其中OA的长度为6厘米，且与地面垂直，若在没有滑动的情况下，将图一的善行向右滚动至OB垂直地面为止，如图二所示
1 在扇形滚动过程中，O点所经过的路径是什么图形？
2 在扇形滚动过程中，求B点所经过的路径是多少厘米？

Answer 1

【解】：

【1】点O经过的路径是与水平地面平行的直线。有2种方法得到。

【方法一】：扇形OAB是圆的一部分，把扇形补全成一个圆。
因为，圆在水平地面上滚动时，圆心的高度是不变的。
所以，作为圆的一部分，扇形OAB在水平地面上滚动时，O点的高度也是不变的，则点O的轨迹是与水平地面平行的直线。
或者更通俗的把扇形OAB看着车轮的一部分，车轮在水平地面上滚动时，车轮的旋转轴永远把持与水平地面平行，那么车轮的轴心前进的轨迹也是一条与水平地面平行的直线。
所以，扇形OAB的圆心O的前进轨迹是与水平地面平行的直线。

【方法二】：
扇形OAB在水平地面上前行时，一直与地面相切，即地面是扇形的切线，切点与圆心O的连线与地面垂直。
切点的轨迹是扇形的边缘在地面上前行时形成的直线，由于切点与圆心O的连线与切点的轨迹形成的直线垂直，且每一时刻圆心O与切点的距离恒等于半径。
所以，圆心O的前进轨迹也是一条直线，且该直线与扇形边缘在地面上前进形成的直线平行。

【2】
因为圆心O前进形成的直线与切点在地面上形成的直线平行，圆心O与对应的切点连线时刻保持与地面垂直，且圆心O与切点的距离恒等于扇形半径。
那么，任意两个时刻，圆心O与切点的连线的2条半径和圆心O前行形成的线段，切点前行形成的线段，共同围成一个矩形。
所以，圆心O和切点前行的距离是相等的。

设扇形OAB的圆心角∠AOB=x 扇形OAB的弧长L ，圆的周长C
则，S扇形 / S圆 = x / 360°
L扇形 / C圆 = x / 360
所以，S扇形 / L扇形 = S圆 / C圆
因为，S圆 / C圆 = r / 2
所以，S扇形 / L扇形 = r / 2
S扇形=30π
则，L扇形 = 2S扇形 / r
=2*30π / 6
=10π
切点前进的距离即扇形的弧在地面上形成的距离。
因为，圆心O前进的距离与切点前进的距离相等
所以，圆心O经过的距离是10π cm

在扇形滚动过程中，点O所经过的路径是10π cm

PS：把点B改成点O ，点B的路径是一条摆线（三角曲线），计算非常繁杂。