Question

已知函数f(x)=x^2+2xtana-1,x属于[-1,根号3],其中a属于(-π/2,π/2)

已知函数f(x)=x^2+2xtana-1,x属于[-1,根号3],其中a属于(-π/2,π/2)
1）当a=π/6时，求函数f(x)的最大值与最小值
2)求a的取值范围，使y=f(x)在区间[-1,根号3]上是单调函数

Answer 1

f(x)=(x+tana)²-tan²a-1
tana=√3/2
f(x)=(x+√3/2)²-7/4
所以x=-√3/2，最小值=-7/4
x=√3，最大值=5

f(x)=(x+tana)²-tan²a-1
单调则对称轴x=-tana不在区间内
所以-tana<=-1,-tana>=√3
tana>=1,tana<=-√3
所以-π/2<a<=-π/3，π/4<=a<π/2

Answer 2

(1)当θ=-π/6时,tanθ=-√3/3
f(x)=x^2-2√3x/3-1=(x-√3/3)^2-4/3
f(x)在[-1,√3/3]单调减,在[√3/3,√3]单调增
f(-1)=1+2√3/3-1=2√3/3
f(√3)=0
所以f(x)在x=-1处取得最大2√3/3
在x=√3/3处取得最小-4/3
(2)f(x)=x^2+2xtanθ-1=(x+tanθ)^2-1-(tanθ)^2
当-tanθ≤-1即tanθ≥1,即π/4≤θ<π/2时f(x)在[-1,√3]单调增
当-tanθ≥√3,即tanθ≤-√3,即-π/2<θ≤-π/3时f(x)在[-1,√3]单调减
综上所述:θ的取值范围(-π/2,-π/3]∪[π/4,π/2)