Question

求x*e^（-2x）的不定积分

Answer 1

反复用分步积分法

∫x*e^（-2x）dx

=-1/2∫x*de^（-2x）

=-1/2xe^(-2x)+1/2∫e^（-2x）dx

=-1/2xe^(-2x)-1/4e^(-2x)+C

x·e^(-2x)即x/e^2x

类似这样的不定积分，是不能用初等函数来表达其原函数的，

如果是x*e^(2x)

那么用分部积分法就可以得到不定积分结果

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

Answer 2

反复用分步积分法
∫x*e^（-2x）dx
=-1/2∫x*de^（-2x）
=-1/2xe^(-2x)+1/2∫e^（-2x）dx
=-1/2xe^(-2x)-1/4e^(-2x)+C

追问

反复用分布积分法 ？

追答

反复用分步积分法，打错了一个字，这个题目用了两次

追问

第二次不懂

追答

？第二次简单的凑微分啊。

Answer 3

原式=-1/2∫x*e^(-2x)d(-2x)
=-1/2∫xde^(-2x)
=-1/2xde^(-2x)+1/2∫e^(-2x)dx
=-1/2xde^(-2x)-1/4∫e^(-2x)d(-2x)
=-1/2xde^(-2x)-1/4e^(-2x)+C
=-(2x+1)e^(-2x)/4+C

Answer 4

Sx*e^（-2x）dx
=-1/2*Sxd(e^(-2x)
=-1/2*xe^(-2x)+1/2*Se^(-2x)dx
=-1/2*xe^(-2x)-1/4*Se^(-2x)d(-2x)
=-1/2*xe^(-2x)-1/4*e^(-2x)+c