Question

设V是n维欧氏空间,γ是V中一非零向量,试证W=｛α∈V/(α，γ)=0｝的维数等于n-1

Answer 1

假设ε1，……εn-1，γ是V的一组基，由于ε1，……εn-1皆与γ线性无关，所以ε1，……εn-1都是W中的元素，即W中至少包含n-1个线性无关的非零向量，W的维数≥n-1.
再假设W中存在与ε1，……εn-1皆线性无关的非零向量β，则ε1，……εn-1与β就构成了V的一组基，所以γ就可由它们线性表出，即γ=k1ε1+…………+kn-1εn-1+knβ.由于k1,………kn不全为零，所以它们中必存在一个非零元ki，则(εi(或β),γ)=(εi,k1ε1+………+kn-1εn-1+knβ)=k1(εi,ε1)+………+kn-1(εi,εn-1)+kn(εi,β)=ki(εi,εi)，由于ki不为零，εi为非零向量，所以ki(εi,εi)，即(εi,γ)不为零，但εi与γ线性无关，因此得出矛盾，所以W中不存在与ε1，……εn-1都线性无关的非零向量，即ε1，……εn-1是W的一组基，W的维数等于n-1。

Answer 2

上述的基应该是正交基，线性无关不能推出它们属于W

Answer 3

上面答案里面的（β，εi）在εi与β只是线性无关的情况下不会等于0的吧