Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，延长CB至F，使BF=CD． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，延长CB至F，使BF=CD．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：△CAF为等腰三角形．

Answer 1

设∠D＝X°
因为ΔACD是等腰三角形
⑴所以∠CAD＝﹙180°－X°﹚/2＝90°－﹙X°/2﹚
所以∠BAD＝∠CAD＋∠BAC＝90°－﹙X°/2﹚＋90°＝180°－﹙X°/2﹚
因为是等腰梯形，所以∠BAD＝∠D＝180°－﹙X°/2﹚＝X°
解得X°＝120°
所以∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－120°＝60°

⑵∠ABF＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°
因为BF＝CD＝AB
所以ΔABF是等腰三角形
∠F＝﹙180°－120°﹚/2＝30°
∠ACB＝180°－60°－90°＝30°
所以∠F＝ABC
三角形CAF的两个底角相等
所以△CAF是等腰△

Answer 2

1）解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC．
∴∠DCA=∠ACB=1 2 ∠DCB．
∵DC=AB，
∴∠DCB=∠ABC．
∴∠ACB=1 2 ∠ABC．
在△ACB中，∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°．
∴∠ACB+∠ABC=90°．
∴1 2 ∠ABC+∠ABC=90°．
∴∠ABC=60°
2）证明：连接DB，
∵在梯形ABCD中，AB=DC，
∴AC=DB．
在四边形DBFA中，DA∥BF，DA=DC=BF，
∴四边形DBFA是平行四边形．
∴DB=AF，
∴AC=AF．
即△ACF为等腰三角形