Question

使实数a使得不等式绝对值2x-a+绝对值3x-2a≥a^2对任何实数x恒成立，则满足条件的实数a的范围是？

Answer 1

取k∈R，令x=ka，则原不等式为|ka-a|+|ka-2a|≥|a|2，即|a||k-1|+|a||k-|≥|a|2，由此易知原不等式等价于|a|≤|k-1|+|k-|，对任意的k∈R成立。

柯西不等式主要是配凑系数并验证是否取得等号，会使一些复杂的题目迎刃而解。判别式法以x为主元，通过x在实数内必定有一解得到参数t的范围。

不等式技巧：

三角换元一般是基于三角函数本身有界性来解题的，然后辅助角公式很重要。消元法是比较基础的方法之一，经常配合基本不等式与导数一起求解最值问题。有时题目会对a，b，c的范围进行限制，但任然可以用判别式法试一试，最后再验证取等条件。

Answer 2

(1) x≤a/2时 不等式变为a-2x+2a-3x≥a²
5x≤3a-a²
只需5*(a/2)≤3a-a²
a(a-1/2)≤0
解得0≤a≤1/2
(2) a/2<x≤2a/3时 不等式变为 2x-a+2a-3x≥0
x≤a 恒成立
只需2a/3≤a 这显然成立
(3) a≥2a/3时 不等式变为2x-a+3x-2a≥0
即5x-3a≥0
只需5*(2a/3)-3a≥0
即a/3≥0显然也成立
综上：0≤a≤1/2

Answer 3

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