Question

如图，已知a、b是异面直线，a垂直于平面α，b垂直于平面β，α∩β=c，a垂直于AB，b 垂直于AB，且A∈a，

如图，已知a、b是异面直线，a垂直于平面α，b垂直于平面β，α∩β=c，a垂直于AB，b 垂直于AB，且A∈a，B∈b，求证：AB平行于c。

Answer 1

在直线b上取一点C,做直线CD//直线a, CD⊥平面α，
a垂直于AB，CD垂直于AB ,b 垂直于AB，AB垂直于相交直线b和CD构成的平面

a垂直于平面α， α∩β=c c在平面α内，a垂直于c 直线CD//直线a, 直线CD垂直于c
b垂直于平面β，α∩β=c c在平面β内，b垂直于c
c垂直于相交直线b和CD构成的平面
AB平行于c

Answer 2

设直线b⊥ β于M，在直线上取点D，过D作DN平行直线a交 β于N
AB⊥a，DN平行直线a，则AB⊥DN
又AB⊥b,即AB⊥DM，则AB⊥面DMN
DM⊥α,α∩β=c,则c⊥DM
DN⊥ β,α∩β=c,则c⊥DN
则c⊥面DMN
所以AB//c

Answer 3

在直线b上取一点C,做直线CD//直线a, CD⊥平面α，
a垂直于AB，CD垂直于AB ,b 垂直于AB，AB垂直于相交直线b和CD构成的平面
a垂直于平面α， α∩β=c c在平面α内，a垂直于c 直线CD//直线a, 直线CD垂直于c
b垂直于平面β，α∩β=c c在平面β内，b垂直于c
c垂直于相交直线b和CD构成的平面
AB平行于c

Answer 4

AB垂直于相交直线b和CD构成的平面

Answer 5

如图，已知a、b是异面直线，a垂直于平面α，b垂直于平面β，α∩β=c，a垂直于AB，b 垂直于AB，且A∈a，B∈b，求证：AB平行于c。