Question

求不定积分∫[xdx/(1+x)]

Answer 1

(1).
看积分式的分子，x=(x+x^(1/2))-(x^(1/2)+1)+(1+x^(-1/2))-x^(-1/2)
所以
∫xdx/1+√x＝∫x^(1/2)dx+∫1dx+∫x^(-1/2)dx+∫[x^(-1/2)/(1+√x)]dx
∫xdx/1+√x＝(2/3)x^(3/2)+x+2x^(1/2)+2*ln(1+x^(1/2))
(2).
这个题怎么了？有什么困难？
不是等于√2*x+(1/2)*x^2-(1/3)*x^3吗？
(3).
换元，令x=sint
∫dx/1+√1-x^2=∫cost/(1+cost)dt=t-∫1/(1+cost)dt
=t-∫[(1-cost)/(sint)^2]dt
=t+ctan(t)-1/sint
然后把t换回x就行了~~！！
arcsinx+[√1-(x^2)]/x-1/x
那第一题我把最后一项的符号弄错了，不过基本没有大错。
另外1、3我忘了加"C"
第二题我看不懂，我不知道你的根号到哪里结束，表述的实在不清，有疑问的话，hi里留言吧~
一、三题不明白也可以hi里讨论。
第二题不难，换元，让y=x-1/2，然后用分部积分，最后再换回去。
你先试试，不行接着留言。
第二题这样：
令y=x-1/2，则积分转化为，∫(√9/4-y^2)dy
然后分部积分，得到y(√9/4-y^2)-∫y(√9/4-y^2)'dy
上式等于y(√9/4-y^2)+∫[(y^2)/(√9/4-y^2)]dy
继续：y(√9/4-y^2)-∫(√9/4-y^2)]dy+∫[(9/4)/(√9/4-y^2)]dy这一步比较关键，不过也不难。
然后就得到了：
2*∫(√9/4-y^2)]dy=y(√9/4-y^2)+∫[(9/4)/(√9/4-y^2)]dy
那∫[(9/4)/(√9/4-y^2)]dy怎么积分哪？
这样：∫[(9/4)/(√9/4-y^2)]dy
=∫[(3/2)/(√1-(4/9)y^2)]dy
=(9/4)∫[1/(√1-(2y/3)^2)]d(2y/3)
=(9/4)arcsin(2y/3)+c
所以2*∫(√9/4-y^2)]dy
=y(√9/4-y^2)+(9/4)arcsin(2y/3)+c
所以∫(√2+x-x^2)dx
=(9/8)arcsin(2y/3)+(y/2)(√9/4-y^2)+c
=(9/8)arcsin(2x-1/3)+(x/2-1/4)(√2+x-x^2)+c
和你的答案略有不同，但我认为是答案有问题，
也可能是我错了，但是我觉得过程已经很详细了。

Answer 2

解：
原式=∫[(1-1/(1+x))dx]
=∫dx-∫(dx/(1+x))
=x-ln|1+x|+C

Answer 3

原式＝∫［（x＋1－1）/（x＋1）］dx＝∫dx－∫［1/（x＋1）］d（x＋1）＝x－ln｜x＋1｜＋C

Answer 4

∫（1/x^3）（√x）dx =∫x^(-3)x^(1/2)dx= ∫x^(-5/2)dx=(-2/3)x^(-3/2)

Answer 5

∫[xdx/(1+x)]=S(x+1-1)/(x+1)dx=Sdx-S1/(x+1)dx=x-ln|x+1|+c