Question

线性代数相似对角化相关问题,希望高手帮助解答。

如果一个n阶实数矩阵可对角化，充要条件是必须有n个线性无关的特征向量。情况分两种：如果有n个不同的特征值，那么对应的特征向量a1,a2,a3,....a(n)肯定线性无关；如果某个特征值有K重根，那么它必须有k个线性无关的特征相量才可对角化。我的问题在重根上，如果该K重根有K个无关的特征向量，那么如何保证全部的n个特征向量都线性无关。首先，不同的特征值对应的特征向量肯定线性无关，也就是说某个特征值对应的特征向量肯定不能用其它特征值对应的特征向量表示，那么K重根中对应的K个线性无关的特征向量中的第i个特征向量a(i),如何保证不能被其剩下的（k-i）个特征相量以及其它特征值对应的（n-k）个特征向量这（n-1）个特征向量线性表示，这个问题我思考了很长时间，也没有结果，希望大家能帮帮忙，先谢谢各位了。

Answer 1

1. 那么K重根中对应的K个线性无关的特征向量中的第i个特征向量a(i),如何保证不能被其剩下的（k-i）个特征相量线性表示 这个显然. 因为这K个特征向量是线性无关的, 其中任一向量不能由其余向量线性表示, 否则就线性相关了. 2. 参考一下这两个结论吧:

追问

不好意思哈，我问的是“那么K重根中对应的K个线性无关的特征向量中的第i个特征向量a(i),如何保证不能被其剩下的（k-i）个特征相量以及其它特征值对应的（n-k）个特征向量这总共（n-1）个特征向量线性表示”，可否再解答一次，

追答

这由第2个图片中的证明就可得到
这里的已知条件就是带有重数的: 属于每个特征值的特征向量都有若干个线性无关的特征向量
证明了它们的整体是线性无关的
所以其中任一个都不能由其余特征向量线性表示.

追问

图片2中说，每个整体是线性无关的，但是怎么推出每个整体都是等于0的呢，请老师解答，

追答

证明里有的
若有两个或以上整体不等于0, 则因为每个整体属于不同的特征值, 故它们线性无关
而由开始设的它们的和等于0, 说明它们线性相关, 这是矛盾.
若有一个整体不为0而其余整体为0
则由设知这个也是0, 矛盾.
所以每个整体都是0.