Question

2001年上海数学中考压轴题最后一问求解

已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当CE=1时，写出AP的长(只求最后一问就好 谢谢各位帮忙）

Answer 1

（1）∵∠BPC=∠A ∠APB=∠PBC(两直线平行，内错角相等) ∴∠ABP=∠PCB
又∵∠PCB =∠DPC(两直线平行，内错角相等) ∴∠ABP=∠DPC（等量代换）
又∵∠A =∠B ∴△ABP∽△DPC ∴ AB/DP=AP/DC
设AP=x, 则DP=5-x 可得关于x的一个方程为：
2/(5-x)=x/2 可得x1=1 x2=4
所以AP的值为1或4

（2）①容易得△APB∽△CEQ
所以 AB/CE=AP/CQ ①又因为 CE/DP=QC/QD(这个可以推出CE=CQ•DP/QD)
把它代入①式 因为AB=2 AP=x CQ=y DP=5-x QD=2+y
经整理得y=-1/2x2+5/2x-2 ②

②因为CE=1 所以AB=AP/CQ y=x/2③
② ③式子联立 经整理得 x2-4x+4=0 所以x=2
所以这时AP长为2
望接纳 （后面x的平方那里希望看得明白x2指x的平方）

Answer 2

（1）：∠A=∠D=∠BPC，∠ABC=∠BCD
∠BCP=∠CPD，∠ABP+∠PBC=∠PBC+∠BCP
∠ABP=∠BCP=∠CPD
三角形ABP相似于三角形PDC
AP/DC=AB/PD
可得方程组AP+PD=5,AP*PD=4
解得AP=1
（2）：∠A=∠D，∠ABP+∠APB=∠APB+∠DPE
∠ABP=∠DPE
三角形ABP相似于三角形PDQ
AB/PD=AP/DQ
2/（5-X）=X/（2+Y）
自己解方程，X取值需要保证Y大于0