Question

利用三角函数定义证明(cosα-sinα+1)/(cosα+sinα+1)=（1-sinα）/cosα

Answer 1

虽然不清楚你说的定义证明是怎样的，我猜大概是这样的吧：
在三角函数的定义中，定义sinα=a/c,cosα=b/c,其中c^2=a^2+b^2，故上式的左边就为
(cosα-sinα+1)/(cosα+sinα+1)
=（b/c-a/c+1)/(b/c+a/c+1)
=(b-a+c)/(b+a+c)
=(b^2-ab+bc)/b(a+b+c)
=(b^2-ab+bc+ac-ac)/b(a+b+c)
=(c^2-a^2-ab+bc+ac-ac)/b(a+b+c)
=[c(a+b+c)-a(a+b+c)]/b(a+b+c)
=(c-a)/b
=(1-a/c)/(b/c)
=（1-sinα）/cosα
这应该是最笨的方法，见笑了！

Answer 2

(cosα-sinα+1)/(cosα+sinα+1)=(1-sinα)/cosα
两边同乘以左、右分母之积，得
cosα²-sinαcosα+cosα =cosα+sinα+1-sinαcosα-sinα²-sinα
将 -sinα² 移项到左边，得
1-sinαcosα+cosα =cosα+sinα+1-sinαcosα-sinα
整理，得
1+cosα = cosα+1
证毕