Question

设函数f(x)=log2(x²-x+1)的定义域,值域分别为集合A,B。g(t)=at²+2t+1. （1）求A,B

（2）若函数y=f[g(t)]的值域为集合B，求a的取值范围。

Answer 1

（1）根据对数函数的性质可知有不等式x²-x+1>0，解得实数集R，也就是说定义域A为实数集R。
之后，通过解二次函数解得2(x²-x+1)≥3/2，设u=2(x²-x+1)，可知u≥3/2,。
则y=log(u)≥log(3/2)，由此解得值域B为[log(3/2),+∞)。
（2）这道题有两种方法。第一种是土方法，直接带入g(x)算，不过没算就知道后果很麻烦。
所以您可以用第二种方法。首先要理解，对于f(x)，要满足值域为B的充要条件是2(x²-x+1)≥3/2。
换句话说，对于f(u)，要满足值域为B的充要条件是2(u²-u+1)≥3/2。这部分能解得u有几种不同情况，分别是u≥b(b≤1/2)、u≤b(b≥1/2)或者u取便全体实数。
然后令u=g(x)，当a=0时，显然u能取便全体实数，故a=0是可取的。
当a≠0时，若a<0则u有最大值，此时考虑u≤b(b≥1/2)的情况，可知u的最大值应大于等于1/2，
解得a<0；
若a>0则u有最小值，此时考虑u≥b(b≤1/2)的情况，可知u的最小值应小于等于1/2，
解得0<a≤2。
综上可知a的取值范围是(-∞,2]。
有不理解可继续追问。