Question

已知两个非零向量a和b，满足|a+b｜=｜a-b|=2√3/3|a｜，求a+b和a-b的夹角？

Answer 1

|a+b｜=｜a-b|
平方
a²+2ab+b²=a²-2ab+b²
ab=0
｜a-b|=2√3/3|a｜
平方
a²-2ab+b²=4a²/3
b²=a²/3
(a+b)(a-b)=a²-b²=2a²/3
cosA=2a²/3/(|a+b||a-b|)=(2a²/3)/(4a²/3)=1/2
所以 夹角为60 °

Answer 2

|a+b|^2=|a|^2+2a*b+|b|^2
|a-b|^2=|a|^2-2a*b+|b|^2
|a+b｜=｜a-b|所以a⊥b
|a+b｜^2=｜a-b|^2=|a|^2+|b|^2=4/3|a｜^2
|a|^2=3|b|^2
a+b与a夹角30°
a-b与a夹角-30°
a+b和a-b的夹角为60°

Answer 3

|a+bI=Ia-bI
平方 a²+2ab+b²=a²-2ab+b²
得ab=0
又Ia+bI=2√3/3IaI
平方 得b²=a²/3
设夹角为t
则cost=(a+b)(a-b)/[Ia+bI*Ia-bI]=(a²-b²)/(2√3/3IaI)²
=(a²-a²/3)/(4a²/3)
=1/2
所以t=60°

Answer 4

数形结合法。作始端共点、互成角度的向量a、b，作出a+b和a-b，因|a+b｜=｜a-b|，对角线相等的平行四边形为矩形，有a⊥b。设向量a+b和a-b的夹角为α，依题意有
cos(α/2)=1/(2√3/3)=√3/2，故α/2=30°，夹角为60°