Question

x->∞ 求lim[1/x+2^(1/x)]^x 的极限

正确答案是2e
但是 我想问的是
老师说 可以先行求出的极限要先行求出
那为什么不可以先把x->∞时 2^(1/x)的极限是1写出来
然后 原式=lim[1/x+1]^x=e？

Answer 1

如果不是趋于无穷，你的方法没有错，但是在趋于无穷的情况下，任何很小的量都要斟酌是否对于整体有影响。比如lim x->∞（1+1/x)^x=e，如果按你说的方法岂不是应该先对1/x求极限为0，然后原式等于1^x=1？

就是因为1/x虽然只是比1大一点点，但是就这么一点点，在无穷次方的阶乘下也会有质的变化。
那么同理，2^(1/x)也只比1大了一点点而已，而这一点点和1/x相比是大还是小还是可以忽略，并没法证明，所以不能先行求极限。

你老师说的没有错，但是这道题里边的2^(1/x)]并不是所谓“可以先行求极限”的部分。我举一个“可以先行求极限”的例子：比如limx->0,求(cosx^3+sinx^2)/（cosx^2+sinx）=?，那么此时的sinx,sinx^2就是可以先行求极限的部分。因为相对于cosx来说，sinx完全可以忽略。但是，同样条件下当求(sinx^2+sinx)/sinx的极限时，那么sinx^2或者sinx肯定都不能忽略。

还有一种情况就是在乘法或者除法的情况下。所以这种情况下因子如果有极限，是可以先求极限的。

Answer 2

能先行提出的必须是以因子形式出现的项，这一项必须跟其他的项之间是乘法或除法的关系，否则不能先行提出(提出的意思就像提出因式类似，必须是乘除的)。

Answer 3

可以先行求出的极限要先行求出
不会是断章取义吧 求极限也要讲方法呀 不同的极限类型要用不同的方法
在极限分析过程中 可能需要取分析每个部分的变化趋势 但是 最终是要整个看的
譬如[1/x+2^(1/x)]^x 在x->∞ 时 这是幂指类型的 属于1 ^∞ 类型 若要用配重要极限做 可以如下
lim[1/x+2^(1/x)]^x 令1/x=t ，x->∞,则t->0
=lim[t+2^t ]^(1/t)
=lim { [1+( t-1+2^t )]^[1/(t-1+2^t )] } ^ [(t-1+2^t )/t]
= { lim[1+( t-1+2^t )]^[1/(t-1+2^t )] } ^ [lim (t-1+2^t )/t]
=e ^ [lim (t-1+2^t )/t]
=e^[ 1 + lim (2^t -1)/t ] 因 2^t -1等价于ln2t
=e^(1+ln2)=2e

Answer 4

必须知道，任何一种方法都需要有理论依据
你那种求极限的想法是错误的