Question

高中椭圆题目

椭圆16x^2+25y^2=400的右焦点C(3,0)，过C的直线交椭圆于A B两点，且CA=2CB，求这样的直线。

Answer 1

椭圆16x²+25y²=400的右焦点C(3,0)，过C的直线交椭圆于A B两点，且︱CA︱=2︱CB︱，求这样的直线。
解：椭圆：x²/25+y²/16=1，a=5，b=4，c=3；
设过右焦点C(3，0)的直线方程为y=k(x-3)=kx-3k，代入椭圆方程得：
16x²+25(kx-3k)²=400，化简得;
(16+25k²)x²-150k²x+225k²-400=0
设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；C为AB的定比分点，定比λ=AC/CB=2；故
(x₁+2x₂)/3=3；(y₁+2y₂)/3=0
即有x₁+2x₂=9.........(1)；y₁+2y₂=0...........(2)
由韦达定理有x₁+x₂=150k²/(16+25k²).............(3)；
y₁+y₂=kx₁-3k+kx₂-3k=k(x₁+x₂)-6k=150k³/(16+25k²)-6k=-96k/(16+25k²).............(4)；
由(1)(3)得x₂=9-(x₁+x₂)=9-150k²/(16+25k²)=(144+75k²)/(16+25k²).......(5)
由(2)(4)得y₂=-(y₁+y₂)=96k/(16+25k²)........(6)
B(x₂，y₂)在椭圆上，故将(5)(6)代入椭圆方程得：
16[(144+75k²)/(16+25k²)]²+25[96k/(16+25k²)]²=400
展开化简得：16k⁴-25.6k²-22.9376=0
解得k=±(2/5)√14
故直线方程为y=±(2/5)(√14)(x-3)

Answer 2

用联立方程的解法较繁。可以考虑用，用“形”的方法解决问题。

如图，由A、B分别向准线作垂线，垂足为M、N，

则由椭圆的第二定义，|AC|=e|AM|，|BC|=e|BN|，

由于|AC|=2|BC|，所以　|AM|=2|BN|，过B作BD⊥AM于D，则D为AM的中点。

于是　|AD|=|BN|=|BC|/e=(5/3)|BC|

设AB的倾斜角为θ，则cosθ=cos∠BAD=|AD|/|AB|=(5/3)|BC|/(3|BC|)=5/9

sinθ=2√14/9，k=tanθ=2√14/5

所以直线方程为y=(2√14/5)(x-3)

根据对称性，另一条直线为y=-(2√14/5)(x-3)

Answer 3

能否说清楚，是距离是2倍还是有限线段。