Question

已知四边形ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点。（1）求证：DE垂直平面PAE

Answer 1

∵PA⊥平面ABCD，而DE在平面ABCD上，　∴DE⊥PA。
∵ABCD是矩形，　∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ADC＝90°、AB＝CD＝2、AD＝BC＝4，
而E是BC的中点，　∴BE＝CE＝2。
∴△ABE是以AE为底边的等腰直角三角形，　△CDE是以DE为底边的等腰直角三角形，
∴∠BAE＝∠CDE＝45°，　∴∠EAD＝∠EDA＝45°，　∴DE⊥AE。
由DE⊥PA、DE⊥AE、PA∩AE＝A，得：DE⊥平面PAE。