Question

F（x）为f（x）的原函数，当x＞0时，f（x）F（x）＝sin²2x，且F（0）＝1，F...

F（x）为f（x）的原函数，当x＞0时，f（x）F（x）＝sin²2x，且F（0）＝1，F（x）≧0，求f（x）

Answer 1

f（x）F（x）＝sin²2x，因为F'（x）=f（x），sin²2x=（1-cos4x）/2
对方称两边积分得到：[F(x)]^2=x-sin4x/4+c，又因为F（0）＝1，得到c=1
故F(x)=√(4x+4-sin4x)/2

Answer 2

取不定积分
∫f(x)F(x)dx=∫F(x)dF(x)=1/2F²(x)=∫sin²2xdx=∫(1-cos4x)/2dx=1/2x-1/8sin4x+C
代人F(0)=1得C=1/2
又F(x)>=0
得F(x)=根号下(x+1-1/4sin4x)
f(x)=F'(x)=(1-cos4x)/[2根号(x+1-1/4sin4x)]