实数的定义
实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。
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实数的基本定理：
1、上（下）确界原理：非空有上（下）界数集必有上（下）确界。
2、单调有界定理：单调有界数列必有极限。具体来说：单调增（减）有上（下）界数列必收敛。
3、闭区间套定理（柯西-康托尔定理）：对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。
4、有限覆盖定理（博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理）：闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。
5、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）：有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。
6、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）：有界数列必有收敛子列。
7、完备性（柯西收敛准则）：数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。
参考资料来源：百度百科-实数
实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。
所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。
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实数的分类
一、按定义分：有理数、无理数。
1、有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
2、无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e。
二、按正负分：正数、负数、0。
1、正数是数学术语，比0大的数叫正数（positive number），0本身不算正数。正数与负数表示意义相反的量。正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写。
2、负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。负数用负号（Minus Sign，即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。于是，任何正数前加上负号便成了负数。一个负数是其绝对值的相反数。
3、0是介于-1和1之间的整数。是最小的自然数，也是有理数。0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。0没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，0的所有倍数都是0。0不能作为除数。
参考资料来源：百度百科—实数
包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
这是初中的知识点。
有理数和无理数统称为实数。
康托方法：康托无疑是连续统（有理数与无理数的统称）理论的创始人之一，有人说他是“实数理论研究的终结者”。但是他在创建连续统理论的时候首先涉及的概念是有限与无限，但是他也没有给出严格的定义，因为这也是很困难的，因为有限与无限是一对矛盾。
