Question

如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留π）

如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留π）；
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？说明理由．
3.当圆O的半径R【R＞0】为任意值时，2中的结论仍然成立吗？请说明理由

Answer 1

解答：
1、连接BC，∵∠A=90°，∴BC就是直径，
∴O点是BC中点，∴△ABC是等腰直角△，
∵BC=2，∴由勾股定理得：
扇形半径AB=√2，∠BAC=90°，
∴扇形面积S=¼×π﹙√2﹚²=½π。
2、延长AO，交圆于D点，
设弧BC与AD相交于E点，则AE=√2，
以ED为直径作圆F，设圆F的半径=r，
则：√2＋2r=2，∴r=½﹙2－√2﹚，
∴圆F周长=2πr=﹙2－√2﹚π≈0.59π，
而弧BC=¼×2π×AB=¼×2π×√2=√2π／2≈0.7π，
∴圆F周长＜弧BC长，
∴不能围成。
3、设圆O半径=R，则AB=√2R，
∴弧BC长=¼×2π×√2R=√2πR／2，
圆F周长=2πr，
∴√2R＋2r=2R，
解得：r=﹙2－√2﹚R／2，
∴只要圆F周长≥弧BC长，就能围成，
∴2π×﹙2－√2﹚R／2≥√2πR／2，
∴只要4≥3√2就行，
但4＜3√2，
∴不可能围成。

Answer 2

扇形半径=根号2*r=根号2
扇形面积=πr^2/4=π/2

以此扇形为圆锥，则圆锥底面的周长为扇形的弧长=2πr/4=π/2倍根号2
则底面半径应为：R=底面周长/2π=根号2/4
因为剩料最宽位置为AO连线延长到对面圆周，弧线边缘到圆周的距离为再剪圆形的最大直径
可以计算该直径为2-根号2，半径为1-二分之根号2，小于R，所以不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与前扇形围成一个圆锥。

以上的r和R等的关系可推广，因此任意半径的圆均不能做到。