Question

设f（x）在[0,1]上连续，且x*f（x）在0到1上的定积分等于f（x）在0到1上的定积分。证明存在y属于0到1使

f（x）在0到y上的定积分为0。

Answer 1

我不知道我证得对不对，我给你我的思路：
设G(t)=[xf(x)-x]dt,被积区域是[0,t].根据题意有G(1）=0;
G(0)=0，G(t)闭区间连续，根据罗尔定理存在一点c属于（0，1），使得G(t）的导数等于0，可得（c-1)f(c)=0.进一步可得f（c）=0.（c-1）恒不等于0
再根据积分中值定理：0到1的被积函数为f（x）定积分=f（c1）其中c1是（0，c）一点。
由以上知：存在一点c使得f（c）=0，故令c1=c，使得f（x）在0到y上的定积分为0，证

Answer 2

不好意思，解决不了啊，只能分析出来，最后让证明的是：在（0,1）区间上F（x）=F
(0)（F(x)是∫f(x)dx）

Answer 3

太难了啊