Question

(1)若0≤x≤π/2,求函数f(x)=sinx+cosx的值域 (2)若π/3≤x≤2π/3，求函数f(x)=sin^2x+2cosx的值域

答案(1) [1,√2]
(2)[-1/4,7/4]
求详细 过程

Answer 1

【公式】：
① sina * cosb + cosa * sinb = sin(a+b)
② sin^2(a) + cos^2(a) = 1

【解】：

【1】f(x)=sinx + cosx
=√2 * [sinx*cos(π/4) + cosx*sin(π/4)]
=√2 * sin(x+π/4)

因为，0≤x≤π/2
☞ π/4≤x+π/4≤3π/4
☞ √2/2≤sin(x+π/4)≤1
☞1≤√2sin(x+π/4)≤√2

所以，f(x)的值域是 【1，√2】

【2】f(x)=sin^2(x) + 2cosx
=1-cos^2(x) + 2cosx
=-(cosx-1)^2 +2

因为，π/3≤x≤2π/3
☞ -1/2≤cosx≤1/2
☞-3/2≤cos-1≤-1/2
☞ -9/4≤-(cosx-1)^2≤-1/4
可得，-9/4≤-(cosx-1)^2+2≤7/4

所以，f(x)的值域是 【-1/4，7/4】

Answer 2

f(x)=sinx+cosx=sqrt(2)*sin(x+45)
所以 若0≤x≤π/2 f(x)=sqrt(2)*sin(45) ~sqrt(2)*sin(90+45)
为一个峰值左右45 故 答案(1) [1,√2]
(2)[-1/4,7/4]
f(x)=sin^2x+2cosx=1-cos^2x+2cosx=-(cosx-1)^2+2
若π/3≤x≤2π/3, cosx=cos60 ~ -cos60=-1/2~ +1/2
答案 (2)[-1/4,7/4]

Answer 3

看图，你也可以化简之后把函数放在坐标上看看图形就知道增减区间，最大最小值