Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动：动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时问为t秒．

（1）求NC、PN的长（用t的代数式表示）
（2）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将梯形ABCD的面积和周长同时平分?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：
（1）
NC=t+1，PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t|
（2）
若t时刻满足条件，则满足矩形ABNQ面积=3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4，则t=5/4
此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2，而梯形总周长为10+10^0.5，不满足条件。故不存在这样的t。

Answer 2

（1）
NC=t+1，PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t|
（2）
若t时刻满足条件，则满足矩形ABNQ面积=3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4，则t=5/4
此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2，而梯形总周长为10+10^0.5，不满足条件。故不存在这样的t。