Question

已知双曲线x^2-y^2/2=1，过点A（2,1）的诸弦中点M的轨迹方程.

要详细过程，最好还有点规律总结之类的

Answer 1

本题如设弦的点斜式方程y-1=k(x-2)，与双曲线方程联立，计算量太大。
可考虑用点差法求弦的斜率用中点表示，进行得到中点M的轨迹方程。
设弦的端点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，中点M(x0，y0)　则2x0=x1+x2，2y0=y1+y2
代点：2x1²-y1²=2
2x2²-y2²=2
作差：2(x2-x1)(x1+x2)-(y2-y1)(y1+y2)=0
即　k=(y2-y1)/(x2-x1)=2(x1+x2)/(y1+y2)=2x0/y0
所以　PQ的方程为 y-1=(2x0/y0)(x-2)
由于　M在PQ上，也适合方程，所以　y0-1=(2x0/y0)(x0-2)
整理得　2x0²-y0²-4x0+y0=0
当斜率不存在时，易求得PQ的中点M(2，0)，也适合上式，
从而诸弦中点M的轨迹方程为2x²-y²-4x+y=0