Question

高考数学题

已知函数f(x)=x+xlnx.
(1).求函数f(x)的图像在点(1,1)处的切线方程；
(2).若k为整数，且k(x-1)<f(x)对任意x>1恒成立，求k的最大值；
(3).当n>m>=4时，证明[(m*n^n)^m]>[(n*m^m)^n].

Answer 1

f'(x)=1+lnx+x*(1/x)=2+lnx
(1)、在(1,1)处的切线斜率为f'(1)=2,又过点(1,1),所以，切线方程为y=2x-1
(2)、令g(x)=f(x)-k(x-1)依题意，g(x)>0在x>1时恒成立。g(1)=1
g'(x)=2+lnx-k，下面分情况讨论。
<1>当2-k>=0时，由于x>1,lnx>0,所以g'(x)>0,g(x)单调递增。g(1)为最小值，1>0，恒成立。
<2>当2-k<0时，此时当1<x<exp(k-2)时，g'(x)<0，x=exp(k-2)时，g‘(x)=0，x>exp(k-2)时，
g'(x)>0，所以x=exp(k-2)时取最小值，此时g(x)=exp(k-2)+(k-2)*exp(k-2)-k[exp(k-2)-1]
=k-exp(k-2)
g(x)>0，所以k>exp(k-2)所以k的最大值为k-lnk=2的解。
<3>不等式两边明显都大于0，所以对两边取对数不改变不等号方向（对数函数单调递增。）
于是题目变成要证明m*ln(m*n^n)>n*ln(n*m^m)
即要证明m*ln(m)+m*n*ln(n)>n*ln(n)+m*n*ln(m)
令t(x)=x*lnx+m*n*ln(m*n/x)
对t(x)求导可得t'(x)在x>=4时单调递减。命题得证。