Question

在数列{an}中,当n为奇数时,a(n+1)-an=1;当n为偶数时,a(n+1)-an=3;a1+a2=5

(1)求a1,a2的值
(2)令bn=a(2n-1) (n∈N*)，判断数列{bn}是否为等差数列，证明你的结论，并求数列{bn}的通项公式
(3)若对任意给定的正整数n(n≥2)，数列{Pk}满足P(k+1)/Pk=4(k-n)/[a(k+1)+a(k+2)-1]且P1=1（k=1,2,…,n-1)求和P1+P2+P3+…+Pn
谢谢 请教详细解答过程

Answer 1

(1)令n=1，则a2-a1=1
又a1+a2=5
得a1=2.a2=3
(2)令n=2k(k∈N*),则a(2k+1)-a(2k)=3
令n=2k-1(k∈N*),则a(2k)-a(2k-1)=1
所以a(2k+1)-a(2k-1)=4
即b(k+1)-bk=4
所以{bn}为等差数列，首项b1=a1=2,公差为4
所以bn=4n-2
(3)由(2)可得当n为奇数时，an=2n
所以a(n+1)=2n+1
即当n为偶数时，an=2n-1
经计算，无论k为奇数还是偶数，总有a(k+1)+a(k+2)=4k+5
所以P(k+1)/Pk=(k-n)/(k+1)
即Pn/P(n-1)=-1/n
P(n-1)/P(n-2)=-2/(n-1)
……
P2/P1=-(n-1)/2
所以Pn=Pn/P(n-1)*P(n-1)/P(n-2)*…*P2/P1*P1
=[(-1)*(-2)*…*(-(n-1))]/[n*(n-1)*…*3*2]=(-1)^(n-1)*n
所以P1+P2+P3+…+Pn=1-2+3-4+…+(-1)^(n-1)*n
当n为偶数时，P1+P2+P3+…+Pn=-1-1-…-1（n/2个）=-n/2
n为奇数时，P1+P2+P3+…+Pn=-1-1-…-1（(n-1)/2个）+n=(n+1)/2