Question

四道数学题

（1）1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，4……，1000.现在进行1,2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2后并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1,2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，直到剩下最后一个人。问：这个学生是几号？
（2）有n名选手（n≥3）参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的。问：是否能够找到三名选手A,B,C使得A胜B，B胜C，C胜A？
（3）在一个8×8的方格棋盘的方格中，填入1到64这64个数。问：是否一定能够找到两个相邻的方格，它们中所填数的差大于4？
（4）下图是一个4×4的表格，每个方格中填入了数字1或0.按下列规则操作：每次可以同时改变某一行的数字：1变成0,0变成1.问：能否通过若干次操作使得每一格中的数都变成1？

Answer 1

1.
第一轮：残剩2、4、6、8......1000 2n
第2轮：残剩 4、8、12、16 1000 4n
第3轮：残剩 8、16、24 1000 8n
第m轮：残剩 2的m次方n
第9轮：残剩512
最后一个是512，他是1000以内2的m次方可取的最大值
2.从极端情况观察入手，设B是胜的次数最多的一个选手，但因B没获全胜，故必有选手A胜B。在败给B的选手中，一定有一个胜A的选手C，否则，A胜的次数就比B多一次了，这与B是胜的次数最多的矛盾。所以，一定能够找到三名选手A，B，C，使得A胜B，B胜C，C胜A。
3.
用逻辑推理，先假设任意两个相邻的方格中所填的数的差都小于或等于4。然后考虑1的位置。1如果在中间，那么它就有四个邻居，而且只能是2、3、4、5。而能与2做邻居的除了这四个只能是6，也就是说2只能有1和6两个邻居，所以2只能在四角的位置。但是1在中间，1的邻居2不可能在四角。以此判断1不可能再中间，它只能在四周。用同样的方法可以推算1也不能在四边上和四角。
4.我们考察表格中填入的所有数的和的奇偶性：第一次“操作”之前，它等于9，是一个奇数，每一次“操作”，要改变一行或一列四个方格的奇偶性，显然整个16格中所有数的和的奇偶性不变。但当每一格中所有数字都变成1时，整个16格中所有数的和是16，为一偶数。故不能通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1。

Answer 2

（1）976（号）
（2）可以（用那三个里面最差的和最好的打 用最好的和中等的打 用中等和下等的打）
（3）考虑这个方格棋盘的左上角,右上角及右下角内的数A,B,S.

设存在一个填数方案,使任意相邻两格中的数的差不大于4,考虑最大和最小的两个数1和64的填法,为了使相邻数的差不大于4,最小数1和最大数的"距离"越大越好,即把它们填在对角的位置上(A=1,S=64).

然后,我们沿最上行和最右行来观察:因为相邻数不大于4,从 A→B→S共经过14格,所以 S≤1+4×14=57(每次都增加最大数4),与S=64矛盾.因而,1和64不能填在"最远"的位置上.显然,1和64如果填在其他任意位置,那么从1到64之间的距离更近了,更要导致如上的矛盾.因此,不存在相邻数之差都不大于4的情况,即不论怎样填数必有相邻两数的差大于4. （百度）

（4）观察表格中填入的所有数的和的奇偶性：第一次“操作”之前，它等于9，是一个奇数，

每一次“操作”，要改变一行或一列四个方格的奇偶性，显然整个16格中所有数的和的奇偶性不变。

但当每一格中所有数字都变成1时，整个16格中所有数的和是16，为偶数。故不能通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1。

Answer 3

(1)鬼画符吧（2）大会避风港（3）何必能够发表（4）性别核蛋白还是后果变化

追问

傻×