数列{An}的前n项和为Sn，且A1=2，nAn+1=Sn+n(n+1),若Tn为数列{An/2^n}的前n项和，求Tn。
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nA(n+1)=Sn+n(n+1)
(n-1)An=S(n-1)+n(n-1)
两式相减 nA(n+1)-(n-1)An=An+2n
nA(n+1)-nAn=2n
所以A(n+1)-An=2
所以{An}是公差为2的等差数列
首项A1=2
则An=2+2(n-1)=2n+1
所以An/2^n=(2n+1)/2^n
Tn=3/2+5/2^2+.....+(2n+1)/2^n
2Tn=3+5/2+......+(2n+1)/2^(n-1)
2Tn-Tn=3+2/2+2/2^2+.....+2/2^(n-1)-(2n+1)/2^n
Tn=3+1+1/2+.....+1/2^(n-2)-(2n+1)/2^n
=3+[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)-(2n+1)/2^n
=3+1/2-1/2^n-(2n+1)/2^n
=7/2-(n+1)/2^(n-1)
(n-1)An=S(n-1)+n(n-1)
两式相减 nA(n+1)-(n-1)An=An+2n
nA(n+1)-nAn=2n
所以A(n+1)-An=2
所以{An}是公差为2的等差数列
首项A1=2
则An=2+2(n-1)=2n+1
所以An/2^n=(2n+1)/2^n
Tn=3/2+5/2^2+.....+(2n+1)/2^n
2Tn=3+5/2+......+(2n+1)/2^(n-1)
2Tn-Tn=3+2/2+2/2^2+.....+2/2^(n-1)-(2n+1)/2^n
Tn=3+1+1/2+.....+1/2^(n-2)-(2n+1)/2^n
=3+[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)-(2n+1)/2^n
=3+1/2-1/2^n-(2n+1)/2^n
=7/2-(n+1)/2^(n-1)
更多追问追答
追问
An=2n吧
追答
哦，对
则An=2+2(n-1)=2n
所以An/2^n=2n/2^n=n/2^(n-1)
Tn=1+2/2+3/2^2+.....+n/2^(n-1)
2Tn=2+2+3/2+......+n/2^(n-2)
2Tn-Tn=2+1+1/2+1/2^2+.....+1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
Tn=2+[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)-n/2^(n-1)
=2+1/2-1/2^n-n/2^(n-1)
=5/2-(2n+1)/2^n
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